Đề bài
Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\], đường cao \[AH\] chia cạnh huyền \[BC\] thành hai đoạn \[BH, CH\] có độ dài lần lượt là \[4cm, 9cm\]. Gọi \[D\] và \[E\] lần lượt là hình chiếu của \[H\] trên \[AB\] và \[AC\].
a]Tính độ dài đoạn thẳng \[DE\].
b]Các đường thẳng vuông góc với \[DE\] tại \[D\] và tại \[E\] lần lượt cắt \[BC\] tại \[M\] và \[N\]. Chứng minh \[M\] là trung điểm của \[BH\] và \[N\] là trung điểm của \[CH\].
c]Tính diện tích tứ giác \[DENM\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Áp dụng tính chất hình chữ nhật và hệ thức lượng giữa đường cao và hình chiếu trong tam giác vuông.
b] Áp dụng tính chất của hình chữ nhật và tam giác cân.
c] Nhẩm lại dấu hiệu nhận biết hình thang và cách tính diện tích của hình đó.
Lời giải chi tiết
a] Ta có:
\[HD \bot AB \Rightarrow \widehat {ADH} = 90^\circ \]
\[HE \bot AC \Rightarrow \widehat {AEH} = 90^\circ \]
Tứ giác \[ADHE\] có \[3\] góc vuông nên nó là hình chữ nhật.
Suy ra: \[AH = DE\] [tính chất hình chữ nhật]
Tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] và có \[AH\] là đường cao.
Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu ta có:
\[\eqalign{
& A{H^2} = HB.HC = 4.9 = 36 \cr
& \Rightarrow AH = 6\,[cm] \cr} \]
Vậy \[DE = 6 [cm]\]
b] * Gọi \[G\] là giao điểm của \[AH\] và \[DE\]
Ta có: \[GA = GD = GH = GE\] [tính chất hình chữ nhật ADHE]
Suy ra tam giác \[GHD\] cân tại \[G\]
Ta có:
\[\widehat {GDH} = \widehat {GHD}\,[1]\]
\[\widehat {GDH} + \widehat {MDH} = 90^\circ \,[2]\]
\[\widehat {GHD} + \widehat {MHD} = 90^\circ \,[3]\]
Từ [1], [2] và [3] suy ra: \[\widehat {MDH} = \widehat {MHD}\,[4]\]
Suy ra tam giác \[MDH\] cân tại \[M\] \[ \Rightarrow MD = MH\,[5]\]
Lại có: \[\widehat {MDH} + \widehat {MDB} = 90^\circ \,[6]\]
\[\widehat {MBD} + \widehat {MHD} = 90^\circ \] [\[BDH\] vuông tại \[D\]] [7]
Từ [4], [6] và [7] suy ra: \[\widehat {MDB} = \widehat {MBD}\]
Suy ra tam giác \[MBD\] cân tại \[M\] \[ \Rightarrow MB = MD\,[8]\]
Từ [5] và [8] suy ra: \[MB = MH\] hay \[M\] là trung điểm của \[BH\].
*Tam giác \[GHE\] cân tại \[G\] [do \[GH=GE\] [cmt]]
Ta có: \[\widehat {GHE} = \widehat {GEH}\,[9]\]
\[\widehat {GHE} + \widehat {NHE} = 90^\circ \] [10]
\[\widehat {GEH} + \widehat {NEH} = 90^\circ \] [11]
Từ [9], [10] và [11] suy ra: \[\widehat {NHE} = \widehat {NEH}\] [12]
Suy ra tam giác \[NEH\] cân tại \[N\] \[ \Rightarrow NE = NH\] [13]
Lại có: \[\widehat {NEC} + \widehat {NEH} = 90^\circ \] [14]
\[\widehat {NHE} + \widehat {NCE} = 90^\circ \] [\[CEH\] vuông tại \[E\]] [15]
Từ [12], [14] và [15] suy ra: \[\widehat {NEC} = \widehat {NCE}\]
Suy ra tam giác \[NCE\] cân tại \[N\] \[ \Rightarrow NC = NE\,[16]\]
Từ [13] và [16] suy ra: \[NC = NH\] hay \[N\] là trung điểm của \[CH\].
c]Tam giác \[BDH\] vuông tại \[D\] có \[DM\] là đường trung tuyến nên:
\[DM = \displaystyle {1 \over 2}BH = {1 \over 2}.4 = 2\,[cm]\]
Tam giác CEH vuông tại E có EN là đường trung tuyến nên
\[EN = \displaystyle{1 \over 2}CH = {1 \over 2}.9 = 4,5\,[cm]\]
Mà \[MD \bot DE\] và \[NE \bot DE\] nên \[MD // NE\]
Suy ra tứ giác \[DENM\] là hình thang
Vậy
\[\eqalign{
& {S_{DENM}} = {{DM + NE} \over 2}.DE \cr
& = {{2 + 4,5} \over 2}.6 = 19,5cm^2. \cr} \]