Đề bài
a] Cho nửa đường tròn tâm \[O\], đường kính \[AB\], dây \[CD\]. Các đường vuông góc với \[CD\] tại \[C\] và \[D\] tương ứng cắt \[AB\] ở \[M\] và \[N\]. Chứng minh rằng \[AM = BN.\]
b] Cho nửa đường tròn tâm \[O\], đường kính \[AB\]. Trên \[AB\] lấy các điểm \[M, N\] sao cho \[ AM = BN\]. Qua \[M\] và qua \[N\], kẻ các đường thẳng song song với nhau, chúng cắt nửa đường tròn lần lượt ở \[C\] và \[D\]. Chứng minh rằng \[MC\] và \[ND\] vuông góc với \[CD\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Áp dụng định lí :Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.
+ Áp dụng đường trung bình của hình thang: Đường thẳng đi qua trung điểm hai cạnh bên của hình thang thì song song với hai đáy của hình thang đó.
Lời giải chi tiết
a] Ta có:
\[CM CD\]
\[DNCD\]
Suy ra: \[CM // DN\]
Kẻ \[OI CD\]
Suy ra: \[OI // CM // DN\]
Xét [O] có \[OI CD\] mà OI là 1 phần đường kính và DC là dây của đường tròn nên\[IC = ID\] [đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy]
Hình thang MCDN [do\[CM // DN\]] có\[OI // CM // DN\] và \[IC=ID\]
Suy ra: \[OM = ON\] [1]
Mà: \[AM + OM = ON + BM[ = R]\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: \[AM = BN.\]
b] Ta có: \[MC // ND\] [gt]
Suy ra tứ giác \[MCDN\] là hình thang
Lại có: \[OM + AM = ON + BN [= R]\]
Mà \[AM = BN\] [gt]
Suy ra: \[OM = ON\]
Kẻ \[OI CD\] [3]
Xét [O] có\[OI CD\] mà OI là 1 phần đường kính và DC là dây của đường tròn nên\[IC = ID\] [đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy]
Khi đó \[OI\] là đường trung bình của hình thang \[MCDN\] [vì\[OM = ON\] và\[IC = ID\]]
Suy ra: \[OI // MC // ND\] [4]
Từ [3] và [4] suy ra: \[MC CD, ND CD.\]