Đề bài
Cho đường tròn \[[O],\] điểm \[A\] nằm bên ngoài đường tròn. Dùng thước và compa, hãy dựng các điểm \[B\] và \[C\] thuộc đường tròn \[[O]\] sao cho \[AB\] và \[AC\] là các tiếp tuyến của đường tròn \[[O].\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
* Phân tích:
+] Giả sử đã có một hình thỏa mãn điều kiện bài toán
+] Chọn ra các yếu tố dựng được ngay [đoạn thẳng, tam giác,...]
+] Đưa việc dựng các điểm còn lại về các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản [Mỗi điểm thường được xác định là giao của hai đường.]
* Cách dựng: Nêu thứ tự từng bước dựng hình, đồng thời thể hiện các nét dựng trên hình vẽ.
* Chứng minh: Bằng lập luận để chứng tỏ rằng với cách dựng trên, hình đã dựng thỏa mãn các điều kiện của đề bài nêu ra.
* Biện luận: Xem xét khi nào bài toán dựng được và dựng được bao nhiêu hình thỏa mãn đề bài
Lời giải chi tiết
*Phân tích
Giả sử tiếp tuyến \[AB\] và \[AC\] cần dựng thỏa mãn điều kiện bài toán.
Ta có: \[AB OB\] \[\Rightarrow\widehat {ABO} = 90^\circ \]
\[AC \bot OC \Rightarrow \widehat {ACO} = 90^\circ \]
Tam giác \[ABO\] có \[\widehat {ABO} = 90^\circ \] nội tiếp trong đường tròn đường kính \[AO\] và tam giác \[ACO\] có \[\widehat {ACO} = 90^\circ \] nội tiếp trong đường tròn đường kính \[AO.\]
Suy ra \[B\] và \[C\] là giao điểm của đường tròn đường kính \[AO\] với đường tròn \[[O].\]
*Cách dựng
Dựng \[I\] là trung điểm của \[OA.\]
Dựng đường tròn \[[ I; IO]\] cắt đường tròn \[[O]\] tại \[B\] và \[C.\]
Nối \[AB, AC\] ta được hai tiếp tuyến cần dựng.
*Chứng minh
Tam giác \[ABO\] nội tiếp trong đường tròn \[[I]\] có \[OA\] là đường kính nên: \[\widehat {ABO} = 90^\circ \]
Suy ra: \[AB OB\] tại \[B\] nên \[AB\] là tiếp tuyến của đường tròn \[[O].\]
Tam giác \[ACO\] nội tiếp trong đường tròn \[[I]\] có \[OA\] là đường kính nên : \[\widehat {ACO} = 90^\circ \]
Suy ra: \[AC OC\] tại \[C\] nên \[AC\] là tiếp tuyến của đường tròn \[[O]\]
*Biện luận
Luôn dựng được đường tròn tâm \[I,\] cắt đường tròn tâm \[O\] tại hai điểm \[B\] và \[C\] và luôn có \[AB, AC\] là hai tiếp tuyến của đường tròn \[[O].\]