Đề bài
Cho hai đường tròn \[[O]\] và \[[O]\] cắt nhau tại \[A\] và \[B.\] Gọi \[I\] là trung điểm của \[OO.\] Qua \[A\] vẽ đường thẳng vuông góc với \[IA,\] cắt các đường tròn \[[O]\] và \[[O]\] tại \[C\] và \[D\] [khác \[A\]]. Chứng minh rằng \[AC = AD.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức:
+] Nếu các đường thẳng song song cách đều cắt một đường thẳng thì chúng chắn trên đường thẳng đó các đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau.
+] Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.
Lời giải chi tiết
Kẻ \[OH CD, OK CD\]
Ta có: \[IA CD\]
Suy ra: \[OH // IA // OK\]
Theo giả thiết: \[IO = IO\]
Suy ra: \[AH = AK\] \[ [1]\] [tính chất đường thẳng song song cách đều]
Xét đường tròn [O] có \[OH AC\] mà OH là 1 phần đường kính và AC là dây cung
Suy ra: \[HA = HC = \displaystyle {1 \over 2}AC\] [quan hệ giữa đường kính và dây cung]
\[AC = 2AH \; [2]\]
Xét đường tròn [O'] có\[OK AD\] mà O'K là 1 phần đường kính và AD là dây cung
Suy ra: \[KA = KD = \displaystyle{1 \over 2}AD\] [ quan hệ giữa đường kính và dây cung]
\[ AD = 2AK \; [3]\]
Từ \[[1], [2]\] và \[[3]\] suy ra: \[AC = AD.\]