Đề bài
Tam giác \[ABC\] có hai trung tuyến \[AM\] và \[BN\] vuông góc với nhau. Hãy tính diện tích tam giác đó theo \[AM\] và \[BN\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng công thức tính diện tích tam giác bằng nửa tích một cạnh và chiều cao tương ứng: \[S=\dfrac{1}{2}ah\]
Lời giải chi tiết
Tứ giác \[ABMN\] có hai đường chéo vuông góc.
\[{S_{ABMN}} = \eqalign{1 \over 2}AM.BN\]
\[ ABM\] và \[ AMC\] có chung chiều cao kẻ từ \[A,\] cạnh đáy \[BM = MC\]
\[ \Rightarrow {S_{ABM}} = {S_{AMC}} = \eqalign{1 \over 2}{S_{ABC}}\]
\[ MAN\] và \[ MNC\] có chung chiều cao kẻ từ \[M,\] cạnh đáy \[AN = NC\]
\[\eqalign{ & \Rightarrow {S_{MAN}} = {S_{MNC}} = {1 \over 2}{S_{AMC}} } \] \[\eqalign{= {1 \over 4} {S_{ABC}}} \]
\[\eqalign{{S_{ABMN}} = {S_{ABM}} + {S_{MNA}}} \]
\[= \eqalign{{1 \over 2}{S_{ABC}} + {1 \over 4}{S_{ABC}} }\]
\[=\eqalign{{3 \over 4}{S_{ABC}}}\]
\[\Rightarrow \eqalign{{S_{ABC}} = \eqalign{4 \over 3}{S_{ABMN}} }\] \[= \eqalign{{4 \over 3}.\eqalign{1 \over 2}.AM.BN =\eqalign{2 \over 3}AM.BN }\]